વક્ર $3x^{2}-y^{2}=8$ ના અભિલંબના સમીકરણો શોધો જે રેખા $x+3y=4$ ને સમાંતર હોય.

(D) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-y^{2}=8$ $(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{2y} = \frac{3x}{y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = \frac{3x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{y}{3x}$ $(ii)$ છે.
અભિલંબ એ રેખા $x+3y=4$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
રેખા $x+3y=4$ માટે,$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,તેથી ઢાળ $m_{3} = -\frac{1}{3}$ છે.
$m_{2} = m_{3}$ લેતા,આપણને $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$ $(iii)$ મળે છે.
$y=x$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$3x^{2} - x^{2} = 8 \Rightarrow 2x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ મળે છે.
જો $x=2$,તો $y=2$. જો $x=-2$,તો $y=-2$. બિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
આ બિંદુઓ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{y}{3x} = -\frac{2}{3(2)} = -\frac{1}{3}$ છે.
$(2, 2)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y = 8$ છે.
$(-2, -2)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y = -8$ છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $x + 3y = \pm 8$ છે.