વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + 2y = sin x નો વ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ છે.આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = \sin x$

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ છે.આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = \sin x$ છે.સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$.વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.કિંમતો મૂકતા,$y e^{2x} = \int \sin x \cdot e^{2x} dx + C$  ..........$(1)$.$I = \int e^{2x} \sin x dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:$I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx$.ફરીથી $\int e^{2x} \cos x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx ight] = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I$.$I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x)$.આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:$y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C$.$e^{2x}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \frac{1}{5} (2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

પ્રાથમિક સંકલન સમીકરણ $ydx + y^2dy = xdy$ ; $x \in R$,$y > 0$,$y = y(x)$,$y(1) = 1$ માટે,$y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ અને $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ હોય,તો $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ $(y > 0)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module