ધારો કે f એ એક વિકલનીય વિધેય f : R rightarrow | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$2e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$. સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $g'(x) = 1 + g(x)$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dg}{dx} - g = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. $e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$. તેથી,$g(x) = C e^x - 1$. $g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$ હોવાથી,$0 = C - 1$,એટલે કે $C = 1$. આમ,$g(x) = e^x - 1$. તેથી $g'(x) = e^x$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ હોવાથી,$f(x) = (1+x^2)e^x$. તેથી,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

Similar Questions

ધારો કે $x=x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(1)=0$ છે. તો,$x(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module