વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x+\sin x \cos ^{2} x=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\frac{\pi}{2})=0$. જો $y(0)=\log _{e}(\alpha+\beta e^{-2})$ હોય,તો $4(\alpha+\beta)$ ની કિંમત $....$ છે.

ધારો કે $y=y(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ અને $\gamma > 0$ છે. તો $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ શું થાય?

ધારો કે $f$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(1)=1$ અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ થાય છે. તો $2 f(2)+3 f(3)$ ની કિંમત .................... છે.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ છે. જો $y(\frac{\pi}{6}) = \alpha$ હોય,તો $e^{8\alpha}$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.