ધારો કે y=y(t) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dt}+alp | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = \alpha$ અને $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ છે.સંકલ્યકાર

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = \alpha$ અને $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \alpha dt} = e^{\alpha t}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ છે.કિંમતો મૂકતા,$y e^{\alpha t} = \int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} dt + C = \gamma \int e^{(\alpha - \beta)t} dt + C$ મળે છે.કિસ્સો $1$: જો $\alpha 
eq \beta$ હોય,તો $y e^{\alpha t} = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{(\alpha - \beta)t} + C$,જેનો અર્થ છે કે $y(t) = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + C e^{-\alpha t}$.અહીં $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,જ્યારે $t ightarrow \infty$,ત્યારે $e^{-\beta t} ightarrow 0$ અને $e^{-\alpha t} ightarrow 0$ થાય છે.તેથી,$\lim_{t ightarrow \infty} y(t) = 0 + 0 = 0$.કિસ્સો $2$: જો $\alpha = \beta$ હોય,તો $y e^{\alpha t} = \int \gamma dt + C = \gamma t + C$,જેનો અર્થ છે કે $y(t) = \gamma t e^{-\alpha t} + C e^{-\alpha t}$.$L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{t ightarrow \infty} \frac{\gamma t}{e^{\alpha t}} = \lim_{t ightarrow \infty} \frac{\gamma}{\alpha e^{\alpha t}} = 0$.આમ,બંને કિસ્સાઓમાં,$\lim_{t ightarrow \infty} y(t) = 0$ થાય છે.

ધારો કે $y=y(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ અને $\gamma > 0$ છે. તો $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ શું થાય?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે વિકલ સમીકરણ $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module