अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y - x + xy cot x | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y \cot x = 1$$\frac{dy}{dx} + y(\frac

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$y = -\cot x + \frac{1}{x} + \frac{C}{x \sin x}$

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(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y \cot x = 1$$\frac{dy}{dx} + y(\frac{1}{x} + \cot x) = 1$यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x} + \cot x$ और $Q = 1$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int (\frac{1}{x} + \cot x) dx} = e^{\ln|x| + \ln|\sin x|} = e^{\ln|x \sin x|} = x \sin x$.व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।$y(x \sin x) = \int (1 \cdot x \sin x) dx + C$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (1)(-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$.अतः,$y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$.$x \sin x$ से भाग देने पर: $y = \frac{-x \cos x}{x \sin x} + \frac{\sin x}{x \sin x} + \frac{C}{x \sin x}$.$y = -\cot x + \frac{1}{x} + \frac{C}{x \sin x}$.

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$; जब $x=1$ तो $y=0$ है।

मान लीजिए कि $y(x)$, $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ और $y(0) = -1$ का एक हल है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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