प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प् | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \fr

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माध्य $= \frac{n+1}{2}$,प्रसरण $= \frac{n^2-1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ight] - \left( \frac{n+1}{2} ight)^2$$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$अतः,माध्य $\frac{n+1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{n^2-1}{12}$ है।

वर्ग अंतराल	$0$-$5$	$5$-$10$	$10$-$15$	$15$-$20$	$20$-$25$
आवृत्ति	$4$	$1$	$10$	$3$	$2$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित बारंबारता वितरण का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।

$Class$ $0-2$ $2-4$ $4-6$ $6-8$ $8-10$ $10-12$

$f_i$ $2$ $7$ $12$ $19$ $9$ $1$

निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए,प्रसरण लगभग किसके बराबर है?
वर्ग अंतराल $0$-$5$ $5$-$10$ $10$-$15$ $15$-$20$ $20$-$25$
आवृत्ति $4$ $1$ $10$ $3$ $2$

आवृत्ति वितरण नीचे दिया गया है:
$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ f & 4 & 9 & 16 & 14 & 11 & 6 \\ \hline \end{array}$
मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

संख्याओं $8, 21, 34, 47, \ldots, 320$ का प्रसरण (variance) . . . . . . है।

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