अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = -4xy^2 का विशिष्ट | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y^2} = -4x dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने

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$y = \frac{1}{2x^2 + 1}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y^2} = -4x dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-2} dy = -4 \int x dx$ प्राप्त होता है। इससे $-\frac{1}{y} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C$ मिलता है,जो सरल होकर $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ हो जाता है। $-1$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $x = 0$ पर $y = 1$,इसलिए $\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C$,जिसका अर्थ है $1 = -C$,अर्थात $C = -1$। $C = -1$ का मान $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ में रखने पर,$\frac{1}{y} = 2x^2 - (-1) = 2x^2 + 1$ प्राप्त होता है। अतः,विशिष्ट हल $y = \frac{1}{2x^2 + 1}$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = 0$ होने पर $y = 1$ है।

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