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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \csc\left(\frac{y}{x}\

Vedclass · Accepted Answer

$\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|ex|$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \csc\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $v + x\frac{dv}{dx} = v - \csc(v)$ प्राप्त होता है।सरल करने पर,$x\frac{dv}{dx} = -\csc(v)$,जो $-\sin(v) dv = \frac{dx}{x}$ की ओर ले जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int -\sin(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।इसका परिणाम $\cos(v) = \log|x| + C$ है।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि जब $x = 1$ तब $y = 0$,इसलिए $\cos(0) = \log|1| + C$,जो $1 = 0 + C$ देता है,अतः $C = 1$।इस प्रकार,$\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + 1 = \log|x| + \log(e) = \log|ex|$।अतः,विशिष्ट हल $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|ex|$ है।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 0$.

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मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ का हल है,जहाँ $y(1)=1$ है। तो $|(y(2))^3-12y(2)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 0$.