આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: 2xy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}, (x 
eq 0, x 
eq e)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} \dots (1)$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^2}{2x^2} = \frac{2vx^2 + v^2x^2}{2x^2} = v + \frac{v^2}{2}$.તેથી,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{2}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow -\frac{2}{v} = \log |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $-\frac{2x}{y} = \log |x| + C \dots (2)$.આપેલ છે કે $x = 1$ ત્યારે $y = 2$: $-\frac{2(1)}{2} = \log |1| + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.સમીકરણ $(2)$ માં $C = -1$ મૂકતા: $-\frac{2x}{y} = \log |x| - 1 \Rightarrow \frac{2x}{y} = 1 - \log |x|$.તેથી,$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}$ જ્યાં $x 
eq 0, x 
eq e$.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$; જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $y = 2$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ નો $x=1, y=1$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module