વિકલ સમીકરણ (x+y) dy + (x-y) dx = 0 નો x=1, y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left|\frac{x^2+y^2}{2}ight|=\frac{\pi}{2}-2 	an ^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$. ચલનું પૃથક્કરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $	an^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$. સામાન્યીકરણ કરતા: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$. $x=1, y=1$ માટે: $	an^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. તેથી,$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. $\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - 	an^{-1}(\frac{y}{x})$. બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(\frac{y}{x})$.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ નો $x=1, y=1$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+y}{x-y}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$ નો ઉકેલ શોધો.

$(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ નો ઉકેલ શોધો:

નીચેનામાંથી કયું વિધેય સમપરિમાણીય (homogeneous) નથી?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module