શ્રેણીના n પદોનો સરવાળો શોધો જેનું n^{th} પદ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ $n^{th}$ પદ $a_n = n^2 + 2^n$ છે. $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ છે. આને બે અલગ સરવાળામાં વિભાજિત કરી શ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ $n^{th}$ પદ $a_n = n^2 + 2^n$ છે. $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ છે. આને બે અલગ સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n 2^k$. પ્રથમ $n$ વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. બીજો ભાગ એક ભૌમિતિક શ્રેણી $(G.P.)$ છે: $\sum_{k=1}^n 2^k = 2^1 + 2^2 + \dots + 2^n$. પ્રથમ પદ $a=2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=2$ સાથે $G.P.$ ના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$ મળે છે. આ બંનેને જોડતા,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$.

શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો જેનું $n^{th}$ પદ $a_n = n^2 + 2^n$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.

Similar Questions

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે,$\sum_{K=1}^n K(K+2) =$

જો $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ અને $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ હોય,તો $m^2 - n^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[\alpha]$ એ $\alpha$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots +[\sqrt{120}]$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણી $\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + \frac{2}{3 \cdot 4} \cdot 2^{2} + \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot 2^{3} + \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

એક શ્રેણી માટે,જો $S_{n} = \frac{5^{n} - 2^{n}}{2^{n}}$ હોય,તો તેનું ચોથું પદ શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module