$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतलों $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 5$ तथा $\vec{r} \cdot (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

  • A
    $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$
  • B
    $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k})$
  • C
    $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-3\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k})$
  • D
    $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k})$

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समतलों $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) = -2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 0, 2)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि रेखाएं $\frac{x-1}{\lambda}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x+26}{-2}=\frac{y+18}{3}=\frac{z+28}{\lambda}$ समतलीय हैं और $P$ वह समतल है जिसमें ये दो रेखाएं स्थित हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $P$ पर स्थित $\text{नहीं}$ है?

समतल $8x+y+2z=0$ और बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ तथा $B(2,4,-3)$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। यदि $a, b, c$ ($|a|, |b|, |c|$ सह-अभाज्य हैं) बिंदु $C$ से रेखा $\frac{1-x}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{3}$ पर डाले गए लंब के दिक अनुपात हैं,तो $|a+b+c|$ का मान $.............$ है।

धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2, -1, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो लंबाई $PQ$ ज्ञात कीजिए।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $x + 2y - 5z + 9 = 0$ के लंबवत सीधी रेखा का समीकरण क्या है?

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