n in N के लिए,मान लीजिए P_n = int_1^e (ln x)^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(\ln

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$-9e$

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(B) दिया गया है $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $P_n = [x(\ln x)^n]_1^e - \int_1^e x \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$। $P_n = e(1)^n - 0 - n \int_1^e (\ln x)^{n-1} dx$। $P_n = e - n P_{n-1}$। अब,हमें $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात करना है। पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) से: $P_{10} = e - 10P_9$। $P_9 = e - 9P_8$। $P_{10}$ के समीकरण में $P_9$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $P_{10} = e - 10(e - 9P_8)$। $P_{10} = e - 10e + 90P_8$। $P_{10} = -9e + 90P_8$। अतः,$P_{10} - 90P_8 = -9e$।

$n \in N$ के लिए,मान लीजिए $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$ है। तो $(P_{10} - 90P_8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ का मान किसके बराबर है?

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx = $

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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