$\alpha, \beta, z \in \mathbb{C}$ અને $\lambda > 1$ માટે,જો $\sqrt{\lambda - 1}$ એ વર્તુળ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $|\alpha - \beta|$ ની કિંમત $.............$ થાય.

ધારો કે $z=x+yi$,જ્યાં $x, y$ પૂર્ણાંકો છે અને $i=\sqrt{-1}$. સમીકરણ $\bar{z}z^3+z(\bar{z})^3=700$ ના ઉકેલો જે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ છે,તે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જ્યારે $\frac{z + i}{z + 2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય,ત્યારે આર્ગેન્ડ આકૃતિમાં બિંદુ $z$ દ્વારા વર્ણવેલ બિંદુપથ એ છે

જો $z = x + iy$ અને $z^2 = (i \bar{z})^2$ હોય,તો

જો $z_1$ અને $z_2$ એ સમીકરણ $z^2+az+b=0$ ના બે બીજ હોય જ્યાં $a^2 < 4b$, તો ઉગમબિંદુ, $z_1$ અને $z_2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે જો

ધારો કે $u = \frac{2z + i}{z - ki}$, જ્યાં $z = x + iy$ અને $k > 0$ છે. જો $\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર $y$-અક્ષને $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છેદે છે જ્યાં $PQ = 5$ હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.