$a, b \in \mathbb{Z}$ અને $|a - b| \leq 10$ માટે,સમતલ $P: ax + y - z = b$ અને રેખા $l: x - 1 = \frac{-y}{1} = z + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે. જો બિંદુ $(6, -6, 4)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $3\sqrt{6}$ હોય,તો $a^4 + b^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સમતલ $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ એ રેખા $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ ને સમાંતર છે. જો $P$ નો $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $1$ હોય,તો $P$ અને $L$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

$\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=3$ એ બે સમતલો છે. આ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતું સમતલ $\pi$, બિંદુ $(0,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $\pi$ નું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k})=m$ હોય, તો $\frac{b c}{a^2}=$

રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ અને સમતલ $x - y + z = 5$ ના છેદબિંદુથી બિંદુ $(-1, -5, -10)$ નું અંતર શોધો.

ધારો કે $L_1$ એ $2x+3y+z=4$ અને $x+2y+z=5$ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલા સમતલોની છેદરેખા છે. ધારો કે $L_2$ એ બિંદુ $P(2,-1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને સમાંતર રેખા છે. ધારો કે $M$ એ $2x+y-2z=6$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સમતલ છે. ધારો કે રેખા $L_2$ એ સમતલ $M$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. ધારો કે $R$ એ $P$ માંથી સમતલ $M$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $9\sqrt{3}$ છે
$(B)$ રેખાખંડ $QR$ ની લંબાઈ $15$ છે
$(C)$ $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ છે
$(D)$ રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ છે

સમતલો $x + y + z = 1$ અને $2x + 3y + z - 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતું અને $y$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવું સમતલ કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?