x geq 0 के लिए,K का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,ज | vedclass

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Question

(A) माना तीन पद $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,और $c = 16^x + 16^{-x}$ हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।मान रखने पर,$2(\

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$10$

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(A) माना तीन पद $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,और $c = 16^x + 16^{-x}$ हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।मान रखने पर,$2(\frac{K}{2}) = 4(4^x + 4^{-x}) + (4^{2x} + 4^{-2x})$।माना $y = 4^x + 4^{-x}$। चूंकि $x \geq 0$,$AM-GM$ असमिका के अनुसार $y \geq 2$ होगा।तब $4^{2x} + 4^{-2x} = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 = y^2 - 2$।अतः,$K = 4y + y^2 - 2 = y^2 + 4y - 2$।$y \geq 2$ के लिए $K$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने हेतु,$f(y) = y^2 + 4y - 2$ का मान $y = 2$ पर निकालते हैं।$f(2) = 2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$।अतः,$K$ का न्यूनतम मान $10$ है।

$x \geq 0$ के लिए,$K$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $4^{1+x}+4^{1-x}$,$\frac{K}{2}$,और $16^{x}+16^{-x}$ एक $A.P.$ के तीन क्रमागत पद हैं :

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