જો $\alpha$ એ $\beta$ લંબાઈના અંતરાલનો સભ્ય હોય અને $(\alpha, -\alpha)$ એ ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 = 1$ નું અંદરનું બિંદુ હોય,તો $(6\beta - 4)^{201} + 201 = $

જે બિંદુઓને $(p_1/q_1, p_2/q_2)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય (જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ $(i = 1, 2)$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) અને જે ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર આવેલા હોય,તેવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન $(A)$: ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ છે. તેની નાભિ અને તેને અનુરૂપ નિયામિકા અનુક્રમે $(1, -2)$ અને $3x + 4y - 15 = 0$ છે. તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે.
કારણ $(R)$: ઉપવલયની નાભિમાંથી તેની અનુરૂપ નિયામિકા પર દોરેલા લંબની લંબાઈ $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ છે.
તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ ધરાવતા ઉપવલયનું એક નાભિ $(0,0)$ પર છે અને નિયામિકા રેખા $x = 4$ છે. તો આવા એક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $O(0, 0)$ અને $A(0, 1)$ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $\Delta AOP$ ની પરિમિતિ $4$ થાય.

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < a)$ એ એક ઉપવલય છે જેની મુખ્ય અક્ષ $AB$ અને ગૌણ અક્ષ $CD$ છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ તેના બે નાભિઓ છે,જેમાં $A, F_1, F_2, B$ એ $AB$ રેખાખંડ પર તે ક્રમમાં છે. જો $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.