n ge 2 के लिए,यदि I_n = int (sin x + cos x)^n | vedclass

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Question

(C) माना $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ और $dv = (\sin x

Vedclass · Accepted Answer

$(\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ और $dv = (\sin x + \cos x) dx$ लें। तब $du = (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x) dx$ और $v = (-\cos x + \sin x) = (\sin x - \cos x)$ प्राप्त होता है। $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - \int (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) dx$. चूँकि $(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) = -(\sin x - \cos x)^2 = -(1 - \sin 2x) = \sin 2x - 1$. साथ ही,$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$. अतः,$\sin 2x - 1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2$. $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) \int (\sin x + \cos x)^{n-2} ((\sin x + \cos x)^2 - 2) dx$. $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) I_n + 2(n-1) I_{n-2}$. $I_n + (n-1) I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$. $n I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$. $n I_n - 2(n-1) I_{n-2} = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$.

$n \ge 2$ के लिए,यदि $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है,तो $nI_n - 2(n-1)I_{n-2} = $

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$x > 0$ के लिए,यदि $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ है,तो $A + B + C + D + E + F$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = $

$\int \frac{dx}{7+5 \cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1) = $

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