n ge 2 માટે,જો I_n = int (sin x + cos x)^n dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ અને $dv = (\sin x + \cos x) dx$ લો. તેથી $du =

Vedclass · Accepted Answer

$(\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ અને $dv = (\sin x + \cos x) dx$ લો. તેથી $du = (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x) dx$ અને $v = (-\cos x + \sin x) = (\sin x - \cos x)$ મળે. $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - \int (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) dx$. કારણ કે $(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) = -(\sin x - \cos x)^2 = -(1 - \sin 2x) = \sin 2x - 1$. વળી,$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$,તેથી $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$. આમ,$\sin 2x - 1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2$. $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) \int (\sin x + \cos x)^{n-2} ((\sin x + \cos x)^2 - 2) dx$. $I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) I_n + 2(n-1) I_{n-2}$. $I_n + (n-1) I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$. $n I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$. $n I_n - 2(n-1) I_{n-2} = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$.

$n \ge 2$ માટે,જો $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ હોય,તો $nI_n - 2(n-1)I_{n-2} = $

Similar Questions

$\int \frac{d x}{\sqrt{\left(5+2 x+x^2\right)^3}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int(x^6+x^4+x^2) \sqrt{2x^4+3x^2+6} dx = f(x) + c$ હોય,તો $f(3) =$

મૂલ્ય શોધો: $\int \frac{2 \cos x+1}{(2+\cos x)^2} d x - \frac{\sin x}{2+\cos x}$

$\int \left( \frac{x}{x \cos x - \sin x} \right)^2 dx = $

$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module