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Question

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या (inverse hyperbolic sine) फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।इस सूत्

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$\log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$

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(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या (inverse hyperbolic sine) फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।इस सूत्र में $y = \cot x$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$चूंकि $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$, इसलिए:$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right) = \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ और $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ का उपयोग करने पर:$\log \left(\frac{\cos x + 1}{\sin x}\right)$अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:$\log \left(\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

$0 < x \leq \pi$ के लिए, $\sinh ^{-1}(\cot x)$ का मान क्या होगा?

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$\tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \tan 63^{\circ} + \tan 81^{\circ}$ का मान $............$ है।

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