$S.H.M.$ કરતા કણ માટે,જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે,$v$ એ કોઈ પણ ક્ષણે વેગ છે અને $a$ એ કોઈ પણ ક્ષણે પ્રવેગ છે,તો:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બ્લોક $P$ અને $Q$ વચ્ચે ઘર્ષણ છે,પરંતુ બ્લોક $Q$ અને નીચેની સપાટી વચ્ચેનો સંપર્ક ઘર્ષણરહિત છે. શરૂઆતમાં,બ્લોક $Q$ તેની ઉપર બ્લોક $P$ સાથે $x=0$ પર છે,અને સ્પ્રિંગ તેની મૂળ લંબાઈ પર છે. બ્લોક $Q$ ને જમણી તરફ ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે. જેમ સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમ કંપવિસ્તાર $A$ સાથે $S.H.M.$ કરે છે,તેમ બ્લોક $P$ એ $Q$ પર સરકવાનું વલણ ધરાવે છે. $P$ કયા સ્થાને સરકવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે?

બે સમાન દડા $A$ અને $B$,દરેકનું દળ $0.1 \ kg$ છે,જે બે સમાન દળરહિત સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળાકારમાં વળેલ પાઇપની અંદર ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત કરવામાં આવ્યું છે. પાઇપ સમક્ષિતિજ સમતલમાં સ્થિર છે. દડાઓના કેન્દ્રો $0.06 \ m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરી શકે છે. દરેક સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ $0.06\pi \ m$ અને બળ અચળાંક $0.1 \ N/m$ છે. શરૂઆતમાં,બંને દડાઓને વર્તુળના વ્યાસ $PQ$ ની સાપેક્ષે $\theta = \pi/6$ રેડિયનના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરીને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. દડા $B$ ના દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?

બે કણો,$1$ અને $2$,દરેકનું દળ $m$ છે,જે એક દળરહિત સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. શરૂઆતમાં,બંને કણો,જેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_0$ પર છે,તે $a$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે. તેથી,સમય $t$ પર તેમના સ્થાન $x_1(t) = (x_0 + d) + a \sin \omega t$ અને $x_2(t) = (x_0 - d) - a \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d > 2a$. $m$ દળનો કણ $3$,$u_0 = a \omega / 2$ ઝડપ સાથે આ તંત્ર તરફ ગતિ કરે છે અને સમય $t_0$ પર કણ $2$ સાથે ત્વરિત સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. અંતે,કણો $1$ અને $2$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v_{cm}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને સમાન કોણીય આવૃત્તિ સાથે $b$ કંપવિસ્તારથી દોલન કરે છે.
$(1)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = 0$ પર થાય,તો $v_{cm} / (a \omega)$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
$(2)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = \pi / (2 \omega)$ પર થાય,તો $4b^2 / a^2$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

$O$ ની આસપાસ $SHM$ કરતા કણનો કંપવિસ્તાર $10 \, cm$ છે. તો:

$List-I$ ને $List-II$ સાથે જોડો:
| | $List-I$ ($x-y$ આલેખ) | | $List-II$ (પરિસ્થિતિ) |
|---|---|---|---|
| $(a)$ | અવમંદિત દોલનનો આલેખ | $(i)$ | કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષી છે |
| $(b)$ | સુરેખ આલેખ $y = -kx$ | $(ii)$ | લોલક નહિવત હવાના અવરોધ હેઠળ દોલન કરે છે |
| $(c)$ | સરળ આવર્ત ગતિનો આલેખ | $(iii)$ | સ્પ્રિંગનું પુનઃસ્થાપક બળ |
| $(d)$ | ઉર્જા સંરક્ષણનો આલેખ (ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના વક્રો) | $(iv)$ | લોલક હવાના અવરોધ હેઠળ દોલન કરે છે |
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો: