ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $p$ માટે,જો બિંદુ $-\hat{i} + p\hat{j} - 3\hat{k}$ થી સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) = 7$ નું લંબ અંતર $6$ એકમ હોય,તો $p=$

$m$ ની કિંમત શોધો,જેથી રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{2z-m}{3}$ એ સમતલ $2x-5y+2z=7$ માં આવેલી હોય.

એક સમતલ $P$ એ રેખા $x+2y+3z+1=0=x-y-z-6$ ને સમાવે છે અને સમતલ $-2x+y+z+8=0$ ને લંબ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $P$ પર આવેલું છે?

એક બિંદુ $P$ એ $Q(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર રેખા પર આવેલું છે. જો $P$ એ સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ પર આવેલું હોય, તો રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $L_1$ એ $2x+3y+z=4$ અને $x+2y+z=5$ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલા સમતલોની છેદરેખા છે. ધારો કે $L_2$ એ બિંદુ $P(2,-1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને સમાંતર રેખા છે. ધારો કે $M$ એ $2x+y-2z=6$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સમતલ છે. ધારો કે રેખા $L_2$ એ સમતલ $M$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. ધારો કે $R$ એ $P$ માંથી સમતલ $M$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $9\sqrt{3}$ છે
$(B)$ રેખાખંડ $QR$ ની લંબાઈ $15$ છે
$(C)$ $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ છે
$(D)$ રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ છે

ધારો કે $\ell_1$ અને $\ell_2$ એ રેખાઓ $\vec{r}_1=\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $\vec{r}_2=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{k})$ છે. ધારો કે $X$ એ તમામ સમતલો $H$ નો સમૂહ છે જે રેખા $\ell_1$ ને સમાવે છે. સમતલ $H$ માટે,$d(H)$ એ $\ell_2$ ના બિંદુઓ અને $H$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે $H_0$ એ $X$ માં એવું સમતલ છે જેના માટે $d(H_0)$ એ $X$ ના તમામ સમતલોમાં $d(H)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $d(H_0)$ નું મૂલ્ય છે	$(1)$ $\sqrt{3}$
$(Q)$ બિંદુ $(0,1,2)$ નું $H_0$ થી અંતર છે	$(2)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(R)$ ઉગમબિંદુનું $H_0$ થી અંતર છે	$(3)$ $0$
$(S)$ ઉગમબિંદુનું સમતલો $y=z, x=1$ અને $H_0$ ના છેદબિંદુથી અંતર છે	$(4)$ $\sqrt{2}$
	$(5)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$