વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,[x] એ x થી નાની અથવા ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$. આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે. $x \in [k, k+1)$ માટ

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$. આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે. $x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$. તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$. દરેક અંતરાલ માટે કિંમતોની ગણતરી કરતા: $k=1, x \in [1, 2)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$. $k=2, x \in [2, 3)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$. $k=3, x \in [3, 4)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$. $k=4, x \in [4, 5)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$. $k=5, x \in [5, 6)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$. $k=6, x \in [6, 7)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$. $k=7, x \in [7, 8)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$. $k=8, x \in [8, 9)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$. આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$. કારણ કે $66 > 60$,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 9$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $\alpha > 0$. જો $\int \limits _0^\alpha \frac{ x }{\sqrt{ x +\alpha}-\sqrt{ x }} dx =\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ ની કિંમત શું છે?

$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = $ (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે)

$\int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$ ની કિંમત શોધો :

જો $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ હોય, તો $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module