एक छात्रवृत्ति के लिए,2n+1 उम्मीदवारों में से | vedclass

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Question

(B) कम से कम एक उम्मीदवार को चुनने के तरीकों की संख्या का योग: $^{2n+1}C_1 + ^{2n+1}C_2 + \dots + ^{2n+1}C_n = 63$ है।हम जानते हैं कि $2n+1$ तत्वों वा

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$3$

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(B) कम से कम एक उम्मीदवार को चुनने के तरीकों की संख्या का योग: $^{2n+1}C_1 + ^{2n+1}C_2 + \dots + ^{2n+1}C_n = 63$ है।हम जानते हैं कि $2n+1$ तत्वों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{2n+1}$ होती है।गुणधर्म $^{2n+1}C_0 + ^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ और समरूपता गुणधर्म $^{2n+1}C_r = ^{2n+1}C_{2n+1-r}$ का उपयोग करते हुए:$^{2n+1}C_0 + (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) + (^{2n+1}C_{n+1} + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1}) = 2^{2n+1}$।चूंकि $^{2n+1}C_0 = 1$ और कोष्ठक में दिए गए दोनों योग समान हैं,इसलिए:$1 + 2 	imes (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) = 2^{2n+1}$।दी गई संख्या $63$ को प्रतिस्थापित करने पर:$2^{2n} - 1 = 63 \Rightarrow 2^{2n} = 64 = 2^6$।अतः,$2n = 6$,जिसका अर्थ है $n = 3$।इस प्रकार,चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या $n = 3$ है।

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