બધા n in N માટે,2^{2n+1} + 3^{2n+1} એ કોના વડ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ છે.$n = 1$ માટે:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.$35$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવ

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ છે.$n = 1$ માટે:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.$35$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $2^{2m+1} + 3^{2m+1} = 5k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.તેથી $2^{2m+1} = 5k - 3^{2m+1} \quad (i)$.હવે,$P(m+1)$ માટે:$P(m+1) = 2^{2(m+1)+1} + 3^{2(m+1)+1} = 2^{2m+3} + 3^{2m+3}$.$P(m+1) = 2^2 \cdot 2^{2m+1} + 3^2 \cdot 3^{2m+1}$.$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:$P(m+1) = 4(5k - 3^{2m+1}) + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k - 4 \cdot 3^{2m+1} + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k + 5 \cdot 3^{2m+1} = 5(4k + 3^{2m+1})$.આમ,$5(4k + 3^{2m+1})$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,બધા $n \in N$ માટે $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

બધા $n \in N$ માટે,$2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

ધારો કે $P(n): 2+2^2+2^3+\ldots+2^n=2^{n+1}-2, n \in N$. તો,

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $n^{3}+2n$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનું સાબિત કરો:
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,${2^n} < n!$ ક્યારે થાય?

કોઈપણ $n \in N$ માટે,$4^n+15n-1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module