જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $n^{3}+2n$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $4^{n}-1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $a_{1}=3$ અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $k > 1$ માટે $a_{k}=7 a_{k-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ માટે,તમામ $n \in N$ માટે સામાન્ય પદ $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?