ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $a_{1}=3$ અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $k > 1$ માટે $a_{k}=7 a_{k-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ માટે,તમામ $n \in N$ માટે સામાન્ય પદ $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ છે.

(A) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન $a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ છે,જ્યાં $n \in N$.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$a_{1} = 3 \cdot 7^{1-1} = 3 \cdot 7^{0} = 3(1) = 3$. જે આપેલ $a_{1} = 3$ સાથે સુસંગત છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $a_{k+1} = 3 \cdot 7^{(k+1)-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
આપેલ સંબંધ $a_{k+1} = 7 a_{k}$ પરથી,
ધારણા $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$ મૂકતા:
$a_{k+1} = 7 \cdot (3 \cdot 7^{k-1}) = 3 \cdot 7^{1} \cdot 7^{k-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.