$m$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે,સીધી રેખા $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ એ કયા વક્રનો સ્પર્શક છે?

વક્ર $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ ને સ્પર્શક દરેક યામ અક્ષો પર એકમ લંબાઈના અંતઃખંડો બનાવે છે,તો બિંદુ $(a, b)$ કયા વક્ર પર આવેલું છે?

જો હાયપરબોલા (અતિવલય) નું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

જો $(8,2)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ હોય,જેની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $12$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષ $x=0$ છે,તો તે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે. જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ પર હોય અને જે $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P(3,3)$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરનું એક બિંદુ છે. જો $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $(9,0)$ માં છેદે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a^{2}, e^{2})$ બરાબર શું થાય?