પૂર્ણાંક $n \geq 2$ માટે,જો $(x+y)^{2n-3}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરેરાશ $16$ હોય,તો બિંદુ $P(2n-1, n^2-4n)$ નું રેખા $x+y=8$ થી અંતર કેટલું થાય?

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

$(1 + t^2)^{10}(1 + t^{10})(1 + t^{20})$ ના વિસ્તરણમાં $t^{20}$ નો સહગુણક શોધો.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ ના ગુણાકારમાં $a^{4}$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $C_{r}$ એ $(1+x)^{n}$, $n \in N$, $0 \leq r \leq n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક છે. જો $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ હોય, તો $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{n}$ દ્વિપદી સહગુણકો હોય,તો $(C_0+C_1)-(C_2+C_3)+(C_4+C_5)-(C_6+C_7)+\ldots=$