किसी भी उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.

(N/A) एक त्रिभुज में,किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$1$. $\triangle ABC$ में,$AB + BC > AC$ (समीकरण $1$)।
$2$. $\triangle ADC$ में,$AD + CD > AC$ (समीकरण $2$)।
$3$. $\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$ (समीकरण $3$)।
$4$. $\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ प्राप्त होता है।
समीकरण $3$ और $4$ को जोड़ने पर: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ प्राप्त होता है।
इन दोनों परिणामी असमिकाओं को जोड़ने पर: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$।