किसी भी उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(N/A) माना $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$CD + DA > AC$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$\triangle OAB$ में,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ में,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ में,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ में,$DA < OD + OA$.
इन चार असमिकाओं को जोड़ने पर: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,इसलिए $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.