કોઈપણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,સાબિત કરો કે $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(N/A) ધારો કે $O$ એ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ છે.
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$CD + DA > AC$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
હવે,છેદબિંદુ $O$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$\triangle OAB$ માં,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ માં,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ માં,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ માં,$DA < OD + OA$.
આ ચાર અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
કારણ કે $OA + OC = AC$ અને $OB + OD = BD$,તેથી $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.