किसी भी पूर्णांक n geq 2 के लिए, मान लीजिए I_ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I_n = \int 	an^n x \, dx$। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $I_n = \int 	an^{n-2} x \cdot 	an^2 x \, dx$ $I_n = \int 	an^{n-2} x (\

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$(n-1, 1)$

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(A) दिया गया है $I_n = \int 	an^n x \, dx$। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $I_n = \int 	an^{n-2} x \cdot 	an^2 x \, dx$ $I_n = \int 	an^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$ $I_n = \int 	an^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int 	an^{n-2} x \, dx$ प्रतिस्थापन $u = 	an x$ का उपयोग करने पर, $du = \sec^2 x \, dx$, पहला समाकलन $\int u^{n-2} \, du = \frac{u^{n-1}}{n-1} = \frac{	an^{n-1} x}{n-1}$ हो जाता है। अतः, $I_n = \frac{	an^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$। इसे दिए गए रूप $I_n = \frac{1}{a} 	an^{n-1} x - b I_{n-2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$ $b = 1$ इसलिए, क्रमित युग्म $(a, b) = (n-1, 1)$ है।

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$x>0$ के लिए, समाकलन $\int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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