फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{9x^{2}+6x+5}}$

(A) $\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+6x+5}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$9x^{2}+6x+5 = (3x)^{2} + 2(3x)(1) + 1^{2} + 4 = (3x+1)^{2} + 2^{2}$.
अब,समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{(3x+1)^{2} + 2^{2}}} dx$ हो जाता है।
माना $t = 3x+1$,तब $dt = 3dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 2^{2}}} dt$.
मानक सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + 2^{2}}| + C$.
$t = 3x+1$ वापस रखने पर:
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{(3x+1)^{2} + 4}| + C$.
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{9x^{2}+6x+5}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।