int_0^{pi /2} {left( {frac{theta }{{sin theta | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 	heta^2$ और $dv = \

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$\pi \log 2$

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(A) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 	heta^2$ और $dv = \csc^2 	heta \, d	heta$ लें। तब $du = 2	heta \, d	heta$ और $v = -\cot 	heta$ प्राप्त होता है। $I = [-	heta^2 \cot 	heta]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} 2	heta \cot 	heta \, d	heta$. सीमावर्ती पद की गणना करने पर: $\lim_{	heta 	o \pi/2} (-	heta^2 \cot 	heta) = 0$ और $\lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \cot 	heta) = \lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta}) = 0$. अतः,$I = 2 \int_0^{\pi/2} 	heta \cot 	heta \, d	heta$. पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 	heta$ और $dv = \cot 	heta \, d	heta$ लें। तब $du = d	heta$ और $v = \ln(\sin 	heta)$ प्राप्त होता है। $I = 2 [	heta \ln(\sin 	heta)]_0^{\pi/2} - 2 \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta$. चूँकि $\ln(\sin(\pi/2)) = \ln(1) = 0$ और $\lim_{	heta 	o 0} 	heta \ln(\sin 	heta) = 0$,इसलिए पहला पद $0$ हो जाता है। हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. अतः,$I = 0 - 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = \pi \ln 2$.

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

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$\int \frac{x^2}{(x\sin x + \cos x)^2} \, dx = $

यदि $\int \frac{a \cos x-2 \sin x}{b \sin x+5 \cos x} d x=\frac{7}{41} x+\frac{22}{41} \log |b \sin x+5 \cos x|+C, (a>0, b>0)$, तो $\int \frac{d x}{b+a \cos x}=$

$\int \frac{1}{\sin (x-a) \sin x} \,d x=$

यदि $\int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x}} \, dx = \sin^{-1}(f(x)) + C$,(जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx = k \cos 4x + c$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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