int_0^{pi /2} {left( {frac{theta }{{sin theta | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta^2$ અને $dv = \cs

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta^2$ અને $dv = \csc^2 	heta \, d	heta$ લો. તેથી $du = 2	heta \, d	heta$ અને $v = -\cot 	heta$ મળે. $I = [-	heta^2 \cot 	heta]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} 2	heta \cot 	heta \, d	heta$. સીમાવર્તી પદની ગણતરી કરતા: $\lim_{	heta 	o \pi/2} (-	heta^2 \cot 	heta) = 0$ અને $\lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \cot 	heta) = \lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta}) = 0$. તેથી,$I = 2 \int_0^{\pi/2} 	heta \cot 	heta \, d	heta$. ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta$ અને $dv = \cot 	heta \, d	heta$ લો. તેથી $du = d	heta$ અને $v = \ln(\sin 	heta)$ મળે. $I = 2 [	heta \ln(\sin 	heta)]_0^{\pi/2} - 2 \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta$. કારણ કે $\ln(\sin(\pi/2)) = \ln(1) = 0$ અને $\lim_{	heta 	o 0} 	heta \ln(\sin 	heta) = 0$,તેથી પ્રથમ પદ $0$ થાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. તેથી,$I = 0 - 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = \pi \ln 2$.

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

Similar Questions

$\int \frac{d x}{9 \cos ^2 2 x+16 \sin ^2 2 x}=$

જો $\int \frac{dx}{x^{7/2}(x^4+1)^{3/8}} = m \left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^n + c$, જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે, તો $n$ ની કિંમત શું છે...

જો $\int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx = \frac{1}{m}((\sqrt{1+x^2}+x)^n (n\sqrt{1+x^2}-x)) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે અને $m, n \in N$,તો $m+n$ ની કિંમત શોધો.

$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} \, dx =$

$\int(\sqrt{x+\sqrt{12x-36}}+\sqrt{x-\sqrt{12x-36}}) dx=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module