किसी भी पूर्णांक n के लिए, समाकलन int_0^pi e^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I =

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(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$, इसलिए $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ होता है।साथ ही, $\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$।$(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है, इसलिए $\cos((2n+1)\pi - 	heta) = -\cos 	heta$ होता है।अतः, $\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = $ . . . . . . .

यदि समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2$ का मान है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n \in N$ के लिए,मान लीजिए $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$ है। तो $(P_{10} - 90P_8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}}$ और $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$ है,तो $g(x) =$

$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

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