किसी भी पूर्णांक n के लिए,समाकलन int_0^pi {{e | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}{{\cos }^3}(2n + 1)x\,dx}$ है।गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0

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(B) माना $I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}{{\cos }^3}(2n + 1)x\,dx}$ है।गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}(\pi-x)}}{{\cos }^3}(2n + 1)(\pi-x)\,dx}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\sin(\pi-x) = \sin x$,इसलिए $\sin^2(\pi-x) = \sin^2 x$ होगा।साथ ही,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x) = -\cos((2n+1)x)$ क्योंकि $(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है।अतः,$\cos^3((2n+1)(\pi-x)) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}} \cdot [-\cos^3(2n + 1)x]\,dx} = -I$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,समाकलन $\int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}{{\cos }^3}(2n + 1)x\,dx} = $

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