सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y=x \sin 3x$ अवकल समीकरण $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+9y-6 \cos 3x=0$ का एक हल है।
(A) दिया गया फलन: $y = x \sin 3x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin 3x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin 3x + x \cdot (\cos 3x \cdot 3) = \sin 3x + 3x \cos 3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(x \cos 3x)$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 [1 \cdot \cos 3x + x \cdot (-\sin 3x \cdot 3)]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 \cos 3x - 9x \sin 3x = 6 \cos 3x - 9x \sin 3x$
अब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ और $y$ का मान अवकल समीकरण के $L.H.S.$ में रखने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y - 6 \cos 3x$
$= (6 \cos 3x - 9x \sin 3x) + 9(x \sin 3x) - 6 \cos 3x$
$= 6 \cos 3x - 6 \cos 3x - 9x \sin 3x + 9x \sin 3x$
$= 0 = R.H.S.$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin 3x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin 3x + x \cdot (\cos 3x \cdot 3) = \sin 3x + 3x \cos 3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(x \cos 3x)$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 [1 \cdot \cos 3x + x \cdot (-\sin 3x \cdot 3)]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 \cos 3x - 9x \sin 3x = 6 \cos 3x - 9x \sin 3x$
अब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ और $y$ का मान अवकल समीकरण के $L.H.S.$ में रखने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y - 6 \cos 3x$
$= (6 \cos 3x - 9x \sin 3x) + 9(x \sin 3x) - 6 \cos 3x$
$= 6 \cos 3x - 6 \cos 3x - 9x \sin 3x + 9x \sin 3x$
$= 0 = R.H.S.$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।
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