દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,નીચેનામાંથી કઈ અસમતા સાચી છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે જ્યાં $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$10^{2n-1} + 1$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

જ્યારે $P$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$n$ ના દરેક ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય માટે,${3^n} > {n^3}$ ક્યારે થાય?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે:
$2n < (n+2)!$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે.