-10 leq x leq 10 के वास्तविक x के लिए,f(x) = | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t

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$0$

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(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t) dt$ हर जगह सतत है यदि समाकल्य $g(t)$ समाकलनीय है। चूंकि $g(t) = 2^{[t]}$ एक टुकड़ों में अचर फलन है,यह पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह सतत है। हालाँकि,एक टुकड़ों में सतत फलन का समाकलन हमेशा सतत होता है। विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n \in (-10, 10)$ के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt$ है और दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + \lim_{x 	o n^+} \int_n^x 2^n dt = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + 0 = f(n)$ है। चूंकि अंतराल $(-10, 10)$ में प्रत्येक बिंदु $x$ पर बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल में हर जगह सतत है। अतः,असातत्य बिंदुओं की संख्या $0$ है।

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यदि $f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ 1 - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \right]$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{5}{2} - x, & x < 2 \\ 1, & x = 2 \\ x - \frac{3}{2}, & x > 2 \end{cases}$,तो:

यदि $f(x) = |x|$ है,तो $f(x)$ है

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