કોઈ alpha, beta in R માટે, ધારો કે A = begin{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $A^{2} - 4A + 2I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ, લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{2} - 	ext{Tr}(A)\lambda + 	ext{det}(A) = 0$ છે. સરખાવતા, $

Vedclass · Accepted Answer

$225$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $A^{2} - 4A + 2I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ, લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{2} - 	ext{Tr}(A)\lambda + 	ext{det}(A) = 0$ છે. સરખાવતા, $	ext{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$.તે જ રીતે, $B^{2} - 3B + I = O$ માટે, $	ext{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$.હવે, $A^{2} = 4A - 2I$. તેથી $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$.$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \ 14 & 20 \end{bmatrix}$.$B$ માટે, $B^{2} = 3B - I$. તેથી $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$.$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix}$.$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \ 6 & 7 \end{bmatrix}$.$	ext{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 	imes 7) - (20 	imes 6) = 105 - 120 = -15$.$2 	imes 2$ શ્રેણિક માટે $	ext{det}(	ext{adj}(M)) = 	ext{det}(M)$ હોવાથી, $	ext{det}(	ext{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$.તેથી, $(	ext{det}(	ext{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$.

Similar Questions

જો $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ હોય,તો $\lambda$ અને $\frac{\lambda}{3}$ એ કયા સમીકરણના બીજ છે?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$. જો $M$ અને $N$ બે શ્રેણિકો $M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k}$ અને $N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ હોય,તો $MN^2$ એ શું છે?

જો $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $x^2 - (a + d)x + k = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો

$\left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module