प्राथमिक समाकलन समीकरण ydx + y^2dy = xdy ; x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $ydx + y^2dy = xdy$ है।पदों को $x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए व्यवस्थित करने पर:$ydx = (x - y^2)dy$$\frac{dx}{dy} =

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$3$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $ydx + y^2dy = xdy$ है।पदों को $x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए व्यवस्थित करने पर:$ydx = (x - y^2)dy$$\frac{dx}{dy} = \frac{x - y^2}{y} = \frac{x}{y} - y$$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = -y$ है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -y$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$$\frac{x}{y} = \int -1 dy + C = -y + C$ है।प्रारंभिक शर्त $y(1) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।अतः,समीकरण $\frac{x}{y} = -y + 2$ है,जिसका अर्थ है $x = 2y - y^2$ है।$y(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ रखने पर:$-3 = 2y - y^2 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$ है।$(y - 3)(y + 1) = 0$ है।चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y = 3$ प्राप्त होता है।

प्राथमिक समाकलन समीकरण $ydx + y^2dy = xdy$ ; $x \in R$,$y > 0$,$y = y(x)$,$y(1) = 1$ के लिए,$y(-3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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