किन प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए,असमिका $2^n > n+1$ मान्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि $a_{1}=3$ और सभी प्राकृतिक संख्याओं $k > 1$ के लिए $a_{k}=7 a_{k-1}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ के लिए,सभी $n \in N$ के लिए सामान्य पद $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ है।

सिद्ध कीजिए कि $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ सभी $n \in N$ के लिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$4+8+12+\ldots+4n = 2n(n+1)$