सिद्ध कीजिए कि $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ सभी $n \in N$ के लिए।

माना $P(n)$ कथन है: $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$1^{2} = 1$ और $\frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}$. चूंकि $1 > \frac{1}{3}$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} > \frac{k^{3}}{3}$ $(1)$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
बाएँ पक्ष से शुरू करते हुए:
$1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{k^{3}}{3} + (k+1)^{2}$ ($(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= \frac{k^{3} + 3(k^{2} + 2k + 1)}{3} = \frac{k^{3} + 3k^{2} + 6k + 3}{3}$
$= \frac{(k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1) + 3k + 2}{3} = \frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3}$
चूंकि $k \in N$ के लिए $3k + 2 > 0$,इसलिए $\frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।