गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$

(N/A) माना $P(n): 1+2+2^2+\ldots+2^n = 2^{n+1}-1$ सभी $n \in N$ के लिए।
चरण $I$: $n=1$ के लिए,
$LHS$ $= 1+2^1 = 3$.
$RHS$ $= 2^{1+1}-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.
चूंकि $LHS$ $= RHS$,कथन $n=1$ के लिए सत्य है।
चरण $II$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $1+2+2^2+\ldots+2^k = 2^{k+1}-1$.
चरण $III$: $n=k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $1+2+2^2+\ldots+2^k+2^{k+1} = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= (1+2+2^2+\ldots+2^k) + 2^{k+1}$.
चरण $II$ की धारणा का उपयोग करने पर,$LHS$ $= (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$.
$= 2 \times 2^{k+1} - 1 = 2^{k+2}-1$.
चूंकि $LHS$ $= RHS$,कथन $n=k+1$ के लिए भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह कथन सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।