सिद्ध कीजिए कि $2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$,सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कथन $P(n)$ इस प्रकार है: $P(n): 2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$,$24$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$2 \cdot 7^{1} + 3 \cdot 5^{1} - 5 = 14 + 15 - 5 = 24$,जो $24$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: माना $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $2 \cdot 7^{k} + 3 \cdot 5^{k} - 5 = 24q$,जहाँ $q \in N$ है। इससे $2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5$,$24$ से विभाज्य है।
$2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5 = 7(2 \cdot 7^{k}) + 15 \cdot 5^{k} - 5$ लें।
$2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 7(24q - 3 \cdot 5^{k} + 5) + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 21 \cdot 5^{k} + 35 + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 6 \cdot 5^{k} + 30$
$= 168q - 6(5^{k} - 5)$।
चूँकि $5^{k} - 5$,$4$ का गुणज है,अतः $5^{k} - 5 = 4m$ लेने पर:
$= 168q - 6(4m) = 168q - 24m = 24(7q - m)$,जो $24$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।