कथन P(n): 1 times 1! + 2 times 2! + 3 times 3 | vedclass

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Question

(C) हम $n = 1$ के लिए कथन $P(n)$ की जाँच करते हैं: $LHS = 1 	imes 1! = 1$. $RHS = (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$. चूँकि $LHS = RHS$,कथन $n = 1$ क

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सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य

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(C) हम $n = 1$ के लिए कथन $P(n)$ की जाँच करते हैं: $LHS = 1 	imes 1! = 1$. $RHS = (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$. चूँकि $LHS = RHS$,कथन $n = 1$ के लिए सत्य है। मान लीजिए कि कथन $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $1 	imes 1! + 2 	imes 2! + \dots + k 	imes k! = (k + 1)! - 1$. $n = k + 1$ के लिए,हमारे पास है: $(1 	imes 1! + 2 	imes 2! + \dots + k 	imes k!) + (k + 1) 	imes (k + 1)! = ((k + 1)! - 1) + (k + 1) 	imes (k + 1)!$. $= (k + 1)! 	imes (1 + k + 1) - 1 = (k + 1)! 	imes (k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1$. यह $n = k + 1$ के लिए $(n + 1)! - 1$ के रूप से मेल खाता है। अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

कथन $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ है

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