गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है।
(N/A) माना $P(n): n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है,सभी $n \in N$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = (1)^{3}-7(1)+3 = 1-7+3 = -3$.
चूंकि $-3$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k^{3}-7k+3 = 3m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1) = (k+1)^{3}-7(k+1)+3$
$= (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - 7k - 7 + 3$
$= (k^{3}-7k+3) + 3k^{2}+3k-6$
$= 3m + 3(k^{2}+k-2)$
$= 3(m+k^{2}+k-2)$.
चूंकि $3(m+k^{2}+k-2)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = (1)^{3}-7(1)+3 = 1-7+3 = -3$.
चूंकि $-3$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k^{3}-7k+3 = 3m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1) = (k+1)^{3}-7(k+1)+3$
$= (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - 7k - 7 + 3$
$= (k^{3}-7k+3) + 3k^{2}+3k-6$
$= 3m + 3(k^{2}+k-2)$
$= 3(m+k^{2}+k-2)$.
चूंकि $3(m+k^{2}+k-2)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
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